C явлениями акустики сталкивается каждый. Вслушаемся в окружающий нас мир. Мы начинаем вдруг слышать звуки, на которые только что не обращали никакого внимания. Тикают часы, звучит где-то музыка, свистит ветер, щебечет вдали птичка.

Трудно также назвать область техники, которая не сталкивалась бы с акустическими вопросами: изготовители музыкальных инструментов ищут способы улучшения акустических свойств своей продукции, строители заняты поисками уменьшения бытовых и производственных шумов, акустические методы исследования позволяют без разрушения детали установить ее качество, сложный стенд в считанные минуты даст полную справку о работе деталей в двигателе автомобиля и танка — и эти важные сведения будут получены только на основе анализа звуковых колебаний.

Звук — это распространяющиеся в упругих средах (газах, жидкостях и твердых телах) механические колебания. Учение о звуке, по классическому определению, и есть акустика. По аналогии, акустика музыкальных инструментов, или музыкальная акустика — учение о музыкальном звуке.

В природе существует множество процессов, сопровождающихся колебаниями, основные законы которых во всех случаях одинаковы. Чем же отличаются от остальных звуковые колебания, порождающие звуки музыки? Как и почему происходят колебания, способные отражать действительность в звуковых художественных образах, то есть быть музыкой? Ответы на эти вопросы дает музыкальная акустика.

Существует несколько определений этого предмета, помимо уже упоминавшегося. В соответствии с одним из них, Музыкальная акустика — наука, изучающая природу музыкальных звуков и созвучий, а также музыкальные системы и строи.Но более полным, на наш взгляд, является такое определение: Музыкальная акустика — наука об образовании, распространении и восприятии звуков музыки. Здесь в полной мере обозначен круг вопросов предмета, указаны его основные аспекты. Важное отличие этого определения от предыдущих состоит в том, что, согласно первому, в музыкальной акустике изучаются только музыкальные звуки, согласно второму — вообще звуки, которые могут быть как музыкальными, так и немузыкальными, то есть шумами.

Известно, что композиторы широко используют в музыкальных произведениях различные шумовые эффекты, которые могут создаваться и музыкальными инструментами, поэтому исключать эти звуки, применяемые в музыке, было бы неправильно, тем более что почти в любом музыкальном звуке имеется примесь шума.

Первоначальное ознакомление с музыкальной акустикой целесообразно, на наш взгляд, осуществить в историческом развитии и проследить, как возникли, как развивались и пришли к современному состоянию наши знания этого предмета. После такого исторического экскурса изложим основные понятия современной музыкальной акустики в том виде, в каком они нужны любому, кто имеет дело с музыкальным инструментом и его настройкой. Различия во взглядах древних и современных ученых помогут лучше уяснить предмет.

Истоки акустики можно проследить до древнейших времен [1, 2, 3,4]. Точно установить, когда первобытный человек впервые обратил внимание на то, что звуки природы могут быть приятными на слух, уже невозможно, но то, что это наблюдение было основой для создания музыкального искусства, можно утверждать с определенностью. Иначе человек не начал бы изобретать музыкальные инструменты. И можно также утверждать, что создавал он свои музыкальные инструменты за много тысяч лет до того, как стал интересоваться и изучать природу музыкальных звуков.

Древние музыкальные инструменты намного старше, чем первые дошедшие до нас сведения об акустике. По-видимому, наиболее древние музыкальные инструменты — духовые. Различные свистульки и дудки из рогов животных и раковин находят в раскопках палеолита — древнекаменного века. Время возникновения древней флейты и трубы-раковины приблизительно 80 000 — 13 000 лет до н. э., флейты с игровыми отверстиями дудки — 5000 — 2000 лет до н. э.

Моложе струнные инструменты, например, арфа, известная по рисункам, найденным при археологических раскопках Древнего Египта. Рисунки арф, высеченные на камнях, датируются пятым тысячелетием до нашей эры.

Познания древних в акустике, если судить по дошедшим сведениям, были умозрительными и в немалой степени имели мистический характер. Китайский философ Фохи, живший три тысячи лет до нашей эры, размышлял о связи высоты звуков с элементами природы: землей, водой, воздухом, огнем и ветром. Какую связь удалось установить китайскому философу — история об этом умалчивает.

Акустика так или иначе должна была возникнуть на основе естественного интереса к музыке и к музыкальным инструментам. Точно так же, как приятные для слуха звуки природы побудили человека создавать музыкальные инструменты, так и приятные звуки инструментов вызвали стремление разгадать тайну музыкальных звуков. Таким образом, появление акустики связано с приятными для слуха звуками.

Зарождающаяся человеческая мысль старалась проникнуть в звуковые явления окружающей природы. Уже на заре развития мышления человека появились фундаментальные идеи в области звуковых явлений. Древние греки были знакомы со многими элементами музыкальной теории, соответствующими современным представлениям. Например, им были известны диатонический и хроматический музыкальный строи.

В глубокой древности было замечено, что при ударе двух тел возникает звук. Известно, что примерно в X–VI веках до н. э. древнегреческие философы уже были убеждены в том, что источник звука необходимо искать в движении частиц, из которых состоят соударяемые тела, что звук далее распространяется в результате каких-то неопределенных движений воздуха и это последнее дает ощущение слышания. Мы видим, что эти представления совсем близки к истине и не хватает им только ясности и глубины проникновения в сущность явлений. Ясность постепенно вносили теоретики в течение последующих веков. VI век до н. э. оставляет заметное влияние на развитие музыкальной акустики, и наибольшим успехом классической древности в этой области стало открытие связи высоты тона и длины звучащего тела (струны, трубы). Открытие это связано с именем Пифагора (около 500 г. до н. э,), основавшего свою школу в Южной Италии (Кротон). На Пифагора сильное впечатление произвело наблюдение за звучанием длинных и коротких струн. Он обнаружил, что струна издает тон на целую октаву выше тона, издаваемого струной, которая вдвое длиннее. На глаз было заметно, что длинная струна вибрирует реже, чем натянутая с той же силой короткая струна. На этом основании позднейшие исследователи рассматривают опыты со струнами как доказательство того, что Пифагор осознавал идею зависимости звука от частоты вибрации.

Систематизация физических знаний о природе заложена трудами Аристотеля. Его труды – обширная энциклопедия знаний, итог работ не только самого Аристотеля, жившего в 384–322 гг. до н, э., но и плоды трудов многих поколений до него, суммирование человеческих знаний во многих областях науки и искусства. Система знаний Аристотеля почти две тысячи лет была фундаментом науки. Для музыкальной акустики особый интерес представляет Аристотелево учение о движении и музыке. Правильны мысли о распространении звука в воздухе. Если во времена Пифагора знали, что звук каким-то образом связан с действием воздуха, то Аристотель делает в этой области шаг вперед и уже утверждает, что звук создается благодаря волнам сжатия. Воспитатель Александра Македонского пытался основать физику музыкального звука на наблюдении и эксперименте, но Аристотелевой физике все же не хватало глубины обобщений.

Примечательная веха – изобретение монохорда, который впервые упоминается у великого геометра Евклида, грека по национальности, расцвет творчества которого относится к 300-м годам до н. э. Возможно, этот крупнейший физик древности и не был изобретателем монохорда, а прообраз последнего был известен уже Пифагору. Но такова уж судьба древних изобретений, что многие из них не имеют достоверно установленных авторов. Считают, что во времена Евклида были известны в общих чертах законы распространения и отражения звука.

Попытка создания волновой теории звука по аналогии с закономерностями распространения волн на поверхности воды была предпринята в I веке до н. э. знаменитым архитектором из Рима Марком Витрувиусом. Замечательно в его теории то, что она рассматривала воздух не движущимся вместе с волной – аналогично тому, как щепка на воде поднимается и опускается при прохождении волны от брошенного где-то рядом камня: волны от камня расходятся, а щепка за ними не следует. Казалось бы, простое наблюдение, но подобная аналогия применительно к волнам в воздухе никак не укладывалась в головах современников Витрувиуса. Они отрицали точку зрения Витрувиуса, которой, кстати, придерживался сам Аристотель на том основании, что если воздух остается на месте, не движется вместе со звуковой волной, то как же тогда объяснить распространение звука в пространстве? Даже шестнадцать-семнадцать столетий спустя в этом вопросе у физиков была путаница.

Но проследуем дальше. Марк Фабий Квинтилиан (30–96 г. н. э.) доказал наличие резонанса струны, использовав для этой цели соломинку. Удивительная широта интересов древних! Квинтилиан сделал открытие одного из фундаментальных явлений в музыкальной акустике, не будучи физиком, – он, как известно, был оратором!

Северинус Бетиус (480–525 г. н. э.) написал пять книг по музыке, в которых обстоятельно изложил музыкально-теоретические учения того времени. Наряду с «Проблемами» Аристотеля эти книги являются одним из основных источников сведений по музыкальной акустике древних. Приведем некоторые выдержки из книг Бетиуса, которые замечательны тем, что взгляды, изложенные в них, близки к современным воззрениям: «Если бы все вещи находились в состоянии покоя, то ни один звук не коснулся бы нашего слуха. Так было бы и при прослушивании любого движения, при котором вещи не могли бы производить между собой удара. Таким образом, для возникновения звука необходим удар. Возникновению удара, однако, по необходимости должно предшествовать движение.

Итак, если должен возникнуть звук, то должно быть налицо и движение. Каждое движение содержит в себе как момент скорости, так и момент медленности.

Если движение при ударе медленное, то возбуждается более низкий тон, ибо подобно тому как медленное движение ближе к состоянию покоя, так и низкий тон ближе к молчанию. Быстрое движение приводит к высокому звучанию. Кроме того, низкий тон, повышаясь, достигает середины, а высокий тон достигает ее, понижаясь. Вся совокупность частей соединяется в известной пропорции. Пропорции же познаются, главным образом, в числах. В зависимости от многократных или подразделенных пропорций слышатся либо созвучные, либо несозвучные тоны. Созвучные тоны – это такие тоны, которые, взятые одновременно, создают приятное и слитное звучание. Несозвучные тоны – это такие тоны, которые, взятые одновременно, не создают приятного и слитного звучания».

В данном отрывке видны, по крайней мере, четыре основополагающих понятия музыкальной акустики. Первое – для того, чтобы возник звук, должно быть движение; второе – чем быстрее движение при ударе, тем выше тон, и наоборот; третье – каждое звучание – тон – состоит из отдельных частей, то есть, по существу, речь идет о сложном характере звука; и четвертое – тоны бывают созвучные и несозвучные, создающие приятное, слитное звучание или неприятное, неслитное звучание. Последнее положение – так как оно дано в цитате из книг Бетиуса, совпадает почти дословно с определением консонанса и диссонанса, принятым в современных книгах по музыкальной акустике.

Перешагнем далее сразу через тысячу лет, поскольку история музыкальной акустики за этот период не была богата яркими открытиями, во всяком случае удивительные и интересные события происходят в XVI столетии. Начиная с конца XVI века в центре внимания исследователей стояла проблема установления связи между высотой тона и числом колебаний тела. Сейчас уже невозможно установить точно, сколько ученых занималось этой проблемой и каким путем пришло к ее решению. Известно, что в 1585 году итальянец Джованни Бенедетта опубликовал в Турине трактат о музыкальных интервалах, в котором он утверждает, что в одних и тех же интервалах, с одинаковым отношением высот звуков будут равны и отношения частот колебательного движения тел, производящих эти звуки. Некоторые свои расчеты к доказательству связи между высотой звука и частотой колебаний публикует в 1618 году француз Исаак Бикман.

Но открытие этой связи обычно приписывают двум другим ученым: французскому монаху Марену Мерсенну (1588–1648) и великому Галилео Галилею (1564–1642). Мерсенн более глубоко, чем Бенедетта и Бикман, исследовал колебания струн, и проведенные им экспериментальные исследования позволили ему сделать вывод, что при равнозначных условиях частота колебания струн обратно пропорциональна длине струны и прямо пропорциональна квадратному корню из площади поперечного сечения струны. Очевидно, в это время родился опыт по установлению связи высоты колебаний с частотой при помощи зубчатого колеса, которое при своем вращении задевало за кусок картона; при этом частота и высота звука увеличивались, если выбиралось колесо с большим числом зубьев (при одинаковой скорости вращения колес). Этот опыт нередко ставится и в наши дни.

Хотя Галилей, по-видимому, и не был первооткрывателем связи высоты тона и частоты колебаний, как, впрочем, утверждают некоторые литературные источники, он все же внес существенный вклад в прояснение этой проблемы. Галилей блестяще выразил многие фундаментальные идеи музыкальной акустики, что дает повод считать его одним из основателей современной акустики.

В своих знаменитых «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению» – главном труде Галилея, вышедшем в Лейдене в 1638 году и содержащем в систематическом виде изложение всего сделанного им в механике, Галилей рассуждает о вибрации тел. Начиная с рассмотрения движения маятника, автор переходит затем к рассмотрению разнообразных акустических явлений. Маятник не является источником звуковых колебаний ни для какого музыкального инструмента, но на его примере открыто много законов акустики. Галилей нашел, что периоды колебаний маятников равной длины одинаковы, даже если один маятник – свинцовый, а другой – пробковый шары, что частота колебаний маятника зависит от длины подвеса и что период колебания маятника не зависит от амплитуды колебания, какой бы большой она ни была. И великие ошибаются.

Последнее утверждение Галилея – неправильно: при больших амплитудах колебаний маятника и большинства других источников вибраций период колебаний изменяется, хотя и незначительно. Даже такой эталон частоты, как камертон, как было установлено много лет после Галилея, при больших амплитудах в начале колебания имеет несколько большую частоту по сравнению с частотой в конце колебаний, когда амплитуды малы (хотя на слух мы этого и не замечаем). Далее Галилей описывает два интересных опыта, которые позволили ему установить физический смысл связи высоты звука колеблющейся струны и ее частоты. Он высказывает суждение, что смысл этой связи определяется числом колебаний в единицу времени.

В первом опыте стеклянный бокал был укреплен на дне вместительного сосуда с водой. Если бокал потирали по краю пальцем, то он начинал издавать звук, а по поверхности воды в большом сосуде пробегали волны. Галилей иногда замечал, что бокал мог издавать звук на октаву выше и, что важно, рябь на воде в этом случае становилась более частой, а длина волны вдвое меньшей.

Во втором опыте звук издавала медная пластинка, которую Галилей чистил от ржавчины железным резцом. Скобление сопровождалось звонким звуком, и на пластинке можно было заметить ряд параллельных тонких черточек от резца, расположенных на одном расстоянии друг от друга. И точно так же, как и в опыте со звучащим бокалом, при повышении высоты звука, что достигалось увеличением скорости скобления резцом, расстояние между параллельными рисками на пластинке уменьшалось.

Далее Галилей описывает сделанное им в опытах наблюдение, что звук пластинки мог заставить звучать струны его спинета. Этот эффект вызывается явлением, которое мы сейчас называем резо-нансом. Становится очевидным, что Галилей ясно понимал роль распространяющихся в воздухе колебаний одного источника, вызывающих соколебания другого источника (в данном конкретном случае – равнотонной струны спинета).

Наблюдательный Галилей заметил также, что если струны, резонирующие на звук медных пластинок, возбуждаемых железным резцом, составляют между собой квинту, то средние расстояния между рисками на пластинках относятся как 2 к 3. Такими опытами он мог установить отношения частот в музыкальных интервалах. Галилей пытался выяснить, почему музыкальные интервалы с простыми отношениями: 1:1, 1:2, 2:3 и некоторые другие кажутся на слух приятными (консонансами, скажем мы теперь), а музыкальные интервалы с отношениями больших целых чисел, например, 15:16, – неприятными (то есть диссонансами).

Таким образом, Галилей в «Беседах», называемых им самим своим шедевром, рассматривает вопросы, стоявшие в центре внимания в области музыкальной акучстики в XVII веке: получение звука с помощью колебаний, связь высоты тона и частоты колебаний, распространение звука в воздухе, явление резонанса, музыкальные интервалы, колебания струны (экспериментальное изучение) и зависимость частоты струны от её геометрических и физических параметров.

Начиная с XVII века развивается и теоретическая, математическая база музыкальной акустики. Для описания колебаний всевозможных встречающихся в музыкальных инструментах источников необходим был математический аппарат. А для последнего нужен был основополагающий закон, который раскрывал бы зависимость между деформацией твердого тела и силой, создающей эту деформацию, Эту проблему решил в 1660 году и представил научному миру в 1675 году в виде анаграммы «ceiiinosssttuv» Роберт Гук.

Знаменитый закон Гука, который по-латыни из букв анаграммы выражается так: «ut tensio sic vis» (каково напряжение, такова и деформация), является основанием для учения о звуке и для теории упругости, которая, собственно, лежит в основе теории колебательного движения тел. Одного этого закона было бы достаточно, чтобы Гук вошел в историю. Его можно по праву считать изобретателем идеи акустической диагностики различных механизмов, в том числе и музыкальных инструментов, по тем звукам, которые они издают, диагностики состояния человеческого организма по шумам внутренних органов.

Попытки объяснения распространения звуковых волн в воздухе по аналогии с распространением ряби или волн на воде были сделаны еще в I веке до н. э. Попытка же создать математическую теорию волнового движения была впервые сделана Исааком Ньютоном (1642—1727) в его труде «Математические начала натуральной философии» (1687), показавшем, насколько мощным средством исследования физических процессов может быть математика.

Теория волнового движения разработана в восьмом разделе второй книги «Начал». Ньютон утверждает, что распространение звука есть не что иное, как толчки воздуха, возникающие в результате воздействия вибрирующего тела на непосредственно примыкающие к нему участки окружающей среды (воздуха). Эти толчки или импульсы передаются соседним участкам среды и т. д.

Интересными являются предположения Ньютона о характере движения отдельных частиц среды (предположения, которые он не мог проверить экспериментально): при прохождении импульса частички среды начинают двигаться в простом гармоническом движении, иначе говоря, по законам колебания маятника; если такое движение справедливо для одной частицы среды, то оно должно быть справед-ливо и для любой другой.

Ньютон теоретически рассчитывает скорость движения звуковой волны и приходит к выводу, что скорость звука равна квадратному корню из отношения величины атмосферного давления к плотности воздуха. Это первое теоретическое определение скорости звука было не совсем точным, и в дальнейшем потребовалась его корректировка. Ньютон дал также первый расчет длины волны звука и рассчитал длину волны звука, издаваемого открытой трубой: длина звуковой волны равна удвоенной длине открытой трубы. И хотя Ньютон уже в своих теоретических расчетах рассматривал воздух как проводник звуковых волн, лишь незадолго до этого было получено экспериментальное доказательство тому, что без воздуха невозможно распространение звуковых колебаний.

Наиболее тщательные опыты в этом направлении были осуществлены проницательным ученым своего времени Робертом Бойлем (1627—1691), ассистентом у которого в свое время работал Гук. С помощью пневматической машины, которая откачивала воздух из стеклянного сосуда с находившимся в нем звонком, Бойль установил закон уменьшения интенсивности звука при разрежении воздуха (1660). Его эксперименты продемонстрировали очень важную связь между источником звука и средой.

Наконец, еще одной проблемой занимались в XVII веке — экспериментальным определением скорости звука. Основным методом, которым пользовались исследователи, был метод, предложенный еще Галилеем, заключающийся в измерении интервала времени между моментом светового восприятия взрыва и моментом прихода звука взрыва к наблюдателю. Мерсенн определял это время по числу ударов пульса, и скорость звука, им определенная, была завышена —450 м/сек.

Пьер Гассенди (1592—1655), работая в Париже, определил в 1635 году скорость звука в воздухе для ружейного выстрела и для выстрела пушки, которые отличались между собой высотой: резкий, высокий звук у ружья и глухой, низкий — у пушки. Так был установлен важный факт независимости скорости звука от его высоты и опровергнута точка зрения Аристотеля, утверждавшего, что высокие тона распространяются быстрее низких. Чтобы не возвращаться больше к этой проблеме, укажем, что в 1738 году Парижской академией наук были выполнены наиболее точные измерения скорости звука — 332 м/сек при 0°С. Они отличаются от измерений, полученных уже в наше время, меньше чем на 1% (331, 45 ± 0,05 м/сек). История знает не так много примеров, когда бы измерения физических величин выдержали испытание временем в течение двух столетий.

В 1740 году итальянец Бианцони показал, что скорость звука возрастает с повышением температуры (факт, имеющий отношение к тому, что некоторые музыкальные инструменты изменяют свой строй с изменением температуры окружающей среды).

В истории музыкальной акустики, пожалуй, наиболее выдающееся положение занимают струны. И в самом деле, струны как источник колебаний используются в большой группе музыкальных инструментов. На примере колебаний струн были открыты многие законы акустики, так как колебания струн относительно легко наблюдать и исследовать. Сравнительно простая картина физического процесса в колеблющейся струне облегчает рассмотрение неясных вопросов, связанных с природой музыкальных тонов.

Выше уже было сказано об основных законах колебаний струн, полученных экспериментальным путем Мерсенном в 1636 году. Эти законы прекрасно иллюстрируются струнными музыкальными инструментами. Различные тона, например на гитаре или скрипке, получаются путем укорачивания колеблющейся части струны, а при настройке струн этих инструментов их точную высоту получают изменением натяжения при одной и той же длине струн.

В то время, когда Ньютон выпустил второе издание своих «Начал», в 1700—1707 годах Парижская академия наук опубликовала труды Жозефа Савера (1653—1716), в которых рассматриваются различные источники звука музыкальных инструментов. Так, значительное внимание уделено Савером рассмотрению законов колебания струн. Основные результаты исследований Савера заключаются в следующем:

1. Струна, натянутая между двумя опорами, может колебаться по частям. При этом отдельные точки струны отклоняются от своего положения равновесия очень сильно, и эти точки Савер назвал пучностями; другие совсем не движутся — их Савер назвал узлами. Эти названия так до сих пор и существуют в науке.

2. Колебания отдельных частей струны соответствуют более высоким частотам по сравнению с частотой, при которой струна колеблется целиком, без неподвижных точек — узлов.

3. Более высокие частоты струны находятся в кратном отношении к частоте простого колебания. Приоритет в терминологии здесь также принадлежит Саверу — частоты, соответствующие колебаниям отдельных частей струны, были названы им высшими гармоническими тонами, а самый низкий звук, соответствующий простому колебанию целой струны, был назван основным тоном. Вся эта терминология, введенная в 1700 году, так и сохранилась без изменения до наших дней.

4. Колеблющаяся струна может производить звуки, соответствующие нескольким гармоническим тонам, взятым одновременно. Последний важный факт уже близко подходит к разгадке свойств музыкального звука.

Савер не ограничивался одними экспериментальными исследованиями и попытался теоретически, правда на основе какихто сомнительных предположений, рассчитать частоту колебания струны. Однако точное динамическое решение задачи о колеблющейся струне первым получил английский математик Брук Тейлор (1685—1731), больше известный как автор теоремы о бесконечных рядах. Тейлор рассчитал частоту тона струны (основного тона) в зависимости от ее длины, веса, натяжения и ускорения силы тяжести. Этими расчетами Тейлор положил начало математической физике, являющейся теоретической основой музыкальной акустики. Частота основного колебания струны по расчетам Тейлора хорошо согласовывалась с эмпирическими формулами, выведенными для струны еще Мерсенном и Галилеем. Тейлор рассмотрел только один частный случай колебания струны, то есть колебание основного тона,— математический аппарат того времени был еще очень слаб. Но он проложил первый путь, и задача, решенная им, сразу же привлекла внимание самых выдающихся математиков XVIII века.

Трудами француза Жана Д'Аламбера (1717—1783), швейцарцев Даниила Бернулли (1700—1782) и Леонарда Эйлера (1707—1783), прожившего большую часть своей жизни в России, и итальянца Лагранжа (1736—1813) была теоретически решена проблема колеблющейся струны и получено дифференциальное уравнение ее движения в той форме, которая используется в математике наших дней.

Если придерживаться строгой хронологии событий, то первым математиком, решившим физическую сторону проблемы движения струны с теоретической точки зрения, был Эйлер. Начало работ Эйлера по теории колебания струны относится к 1739 году, когда в своем труде «Опыт новой теории музыки» он установил, что скорость распространения волны по струне не зависит от длины волны возбуждаемого звука. Эйлер вообще внес наиболее существенный вклад в теорию стоячих колебаний струн.

Д'Аламбера обычно называют первым, кто получил (1747) дифференциальное уравнение колеблющейся струны в той форме, в которой его обычно записывают теперь. Д'Аламбер нашел общее решение этого знаменитого волнового уравнения в виде волн, бегущих в разных направлениях по струне.

Д. Бернулли в «Ученых записках» Берлинской академии наук опубликовал теоретическое объяснение гармоник струны. Он показал, что возможно одновременное колебание многих независимых частей струны, дающих множество простых гармонических колебаний. Перемещение же отдельных точек струны есть алгебраическая сумма перемещений, соответствующих простым гармоническим составляющим. Здесь Бернулли выдвигает и обосновывает принцип одновременного сосуществования малых колебаний, не влияющих друг на друга,— так называемый принцип «суперпозиции». Надо сказать, что этот плодотворный принцип не сразу нашел признание даже у выдающихся математиков.

Свой путь решения задачи о колебании струны предложил в 1759 году Лагранж в солидной статье, адресованной Туринской академии. Лагранж представил струну состоящей из конечного числа частиц с одинаковой массой, находящихся на одинаковых друг от друга расстояниях и связанных общей нитью. Лагранж находит сначала колебания этих нескольких участков струны и затем получает решение при произвольно большом числе участков.

Источник: В. Г. Порвенков Акустика и настройка музыкальных инструментов. - Москва, "Музыка", 1990.